Ευκλειδης απο την Αλεξανδρεια
ΠΗΓΑΙΝΕ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΣΤΙΣ ΑΚΟΛΟΥΘΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ:
ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ
ΤΑ "ΣΤΟΙΧΕΙΑ" ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ
ΕΡΓΑ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ
Η ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ. ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΚΑΙ ΧΙΛΜΠΕΡΤ
Ο Ευκλείδης από την Αλεξάνδρεια (~ 300 π.Χ. - 270 π.Χ.), ήταν Έλληνας μαθηματικός, που δίδαξε και πέθανε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, περίπου κατά την διάρκεια της βασιλείας του Πτολεμαίου Α΄ (323 π.Χ. - 283 π.Χ.). Στις μέρες μας είναι γνωστός ως ο «πατέρας» της Γεωμετρίας . Ο Ευκλείδης κατέχει μια κρίσιμη θέση στην ιστορία της Λογικής και των Μαθηματικών, καθώς είναι ο πρώτος που παράγει ένα αυστηρά δομημένο και συνεκτικό σύστημα προτάσεων (θεωρημάτων και πορισμάτων) με βάση ένα σύνολο ορισμών και 5 μόνο αρχικές αναπόδεικτες προτάσεις (αιτήματα).
Κατ' αυτό το τρόπο περιέλαβε στο σύστημα αυτό και προτάσεις ήδη διατυπωμένες παλαιότερων σημαντικών μαθηματικών, όπως ο Θαλής, ο Πυθαγόρας, ο Θεαίτητος, ο Λεωδάμαντας και ο Εύδοξος. Ο Ευκλείδης έγραψε ακόμα συγγράμματα για τα "Οπτικά", "Κατοπτρικά", "Στοιχεία τής Μουσικής", "Κωνική τομή", "σφαιρική γεωμετρία", "Θεωρία αριθμών".
Σχετικά με τη ζωή του
Σχεδόν τίποτα δεν είναι γνωστό σχετικά με την ζωή του Ευκλείδη εκτός από αυτά που αναφέρονται στα βιβλία του και ελάχιστες βιογραφικές πληροφορίες που προέρχονται από αναφορές τρίτων. Ήταν ενεργό μέλος της βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας και πιθανόν να είχε σπουδάσει στην Ακαδημία του Πλάτωνα στην Αθήνα. Έγινε γνωστός στην πόλη της Αθήνας για τις μαθηματικές του εργασίες και γι' αυτό προσκλήθηκε από τον Πτολεμαίο Α΄ στην Αλεξάνδρεια.
Η διάρκεια της ζωής του, όπως και ο τόπος γέννησής του μας παραμένουν άγνωστα. Κατά τον Μεσαίωνα, πολλοί δυτικοί συγγραφείς τον ταύτισαν λανθασμένα με έναν κατά ένα αιώνα προγενέστερο Σωκρατικό φιλόσοφο, αποκαλώντας τον Ευκλείδη από τα Μέγαρα. Οι λίγες ιστορικές αναφορές στον Ευκλείδη γράφτηκαν αιώνες αργότερα από τον φιλόσοφο Πρόκλο. Μία λεπτομερής βιογραφία για τον Ευκλείδη γράφτηκε από Άραβες συγγραφείς όπου αναφέρετε η γενέτειρα του η Τύρος. Όμως, αυτή η βιογραφία ευρέως θεωρείται πλασματική.
Λόγο της έλλειψης βιογραφικών πληροφοριών, κάποιοι ερευνητές θεώρησαν ότι ο Ευκλείδης δεν ήταν μία ιστορική φιγούρα και ότι τα έργα του γράφτηκαν από μία ομάδα μαθηματικών η οποία πείρε το όνομα Ευκλείδης από την ιστορική φιγούρα του Ευκλείδη του Μεγαρεύς. Ωστόσο, αυτή η υπόθεση δεν είναι αποδεκτή από τους μελετητές καθώς υπάρχουν πολύ λίγα αποδεικτικά στοιχεία υπέρ της.
Πήγαινε: στην Αρχή της Σελίδας
ΤΑ "ΣΤΟΙΧΕΙΑ" ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ
H μαθηματική παραγωγή από την εποχή τού Θαλή μέχρι την εποχή τού Ευκλείδη (600-300 π.Χ.) έχει συγκεντρωθεί από τον Ευκλείδη με απαράμιλλη τάξη και επιστημονικότητα στο έργο του υπό τον τίτλο «Στοιχεία».
Όχι πολύ νεότερος των μαθητών τού Πλάτωνα ήταν ο Ευκλείδης, ο οποίος όχι μόνο συνάθροισε όλα τα μέχρι τής εποχής του στοιχεία τής Γεωμετρίας, αλλά και πολλά, που είχε βρει ο Εύδοξος ο Κνίδιος, τα συνέταξε, πολλά δε επίσης από αυτά, που είχε ανακαλύψει ο Θεαίτητος τα τελειοποίησε.
Επί πλέον δε, εκείνα τα θεωρήματα, τα οποία πριν από αυτόν δέν είχαν τις απαραίτητες αποδείξεις, τα διαμόρφωσε με αυστηρές αποδείξεις. Δεν είναι γνωστό, εάν στα «Στοιχεία» περιλαμβάνονται και θεωρήματα, τα οποία έχει τυχόν ανακαλύψει ο Ευκλείδης. Πολλές όμως ενδείξεις μαρτυρούν, ότι κατά πάσα πιθανότητα πολλά θεωρήματα είναι επινοήσεις τού Ευκλείδη.
Αφ’ ότου ο Ευκλείδης εξέδωσε τα «Στοιχεία» (υπολογίζεται περί το 320-310 π.Χ.), κανείς άλλος δέν έγραψε μέχρι και σήμερα παρόμοιο βιβλίο . Από τότε και σε διάστημα 2.300 ετών και πλέον τα «Στοιχεία» τού Ευκλείδη παραμένουν το μαθηματικό στερέωμα τής ανθρωπότητας. Είναι γνωστές περί τις 1.800 εκδόσεις των «Στοιχείων» σε διάφορες γλώσσες. Παρά την επιβολή τού χριστιανισμού στο δυτικό κόσμο, τα «Στοιχεία» είναι το βιβλίο εκείνο, το οποίο είχε τις περισσότερες εκδόσεις παγκοσμίως μετά την Βίβλο.
Βιογραφικές πληροφορίες για τον Ευκλείδη δέν σώθηκαν. Δέν γνωρίζουμε ούτε τον τόπο ούτε το χρόνο τής γέννησης και τού θανάτου του.
Το μόνο γνωστό είναι, ότι έδρασε στην Αλεξάνδρεια. Η ακμή του συμπίπτει με το χρόνο τής βασιλείας τού Πτολεμαίου τού Α΄ (323-285 π.Χ.).
Σύμφωνα με όλες τις ενδείξεις ο Ευκλείδης ήταν ο πρώτος διευθυντής τής περίφημης Αλεξανδρινής Σχολής ή ο πρώτος πρύτανις τού πανεπιστημίου τής Αλεξάνδρειας, αν θελήσουμε να εκφράσουμε τον τίτλο του με το σύγχρονο τρόπο.
Ο Ευκλείδης, λίγα έτη μετά το θάνατο τού Πλάτωνα, θεωρούνταν στην Αθήνα, όπου ζούσε, ως μεγάλος μαθηματικός, έπρεπε μάλιστα να είναι ο μεγαλύτερος, για να κληθεί από τον Πτολεμαίο στην Αλεξάνδρεια, να αναλάβει την οργάνωση και τη διεύθυνση τού ιδρυόμενου εκεί τότε πανεπιστημίου.
Ο Πρόκλος (410-485 μ.Χ.), από τους διευθυντές τής Ακαδημίας Πλάτωνα, αποκαλεί τον Ευκλείδη πλατωνικό, τουτέστιν γνώστη τής φιλοσοφίας τού Πλάτωνα. Στα σχόλιά του επί τού πρώτου βιβλίου των «Στοιχείων» τού Ευκλείδη απαριθμεί κατά σειρά τους σπουδαίους μαθηματικούς μέχρι τον Ευκλείδη, οι οποίοι με τις ανακαλύψεις τους δημιούργησαν την μαθηματική επιστήμη.
Αρχίζει από το Θαλή τον Μιλήσιο και μνημονεύει ακολούθως τον Αναξίμανδρο, τον Μαμέρτιο (αδελφό τού ποιητή Στησιχόρου), τον Πυθαγόρα, τον Ιππία τον Ηλείο, τον Αναξαγόρα τον Κλαζομένιο, τον Οινοπίδη το Χίο, τον Ιπποκράτη το Χίο, τον Θεόδωρο τον Κυρηναίο, τον Πλάτωνα, τον Λεωδάμαντα το Θάσιο, τον Αρχύτα τον Ταραντίνο, τον Θεαίτητο τον Αθηναίο, τον Νεοκλείδη, τον Λέοντα, τον Εύδοξο τον Κνίδιο, τον Αμύκλα τον Ηρακλεώτη, τους αδελφούς Μέναιχμο και Δεινόστρατο, το Θεύδιο τον Μάγνητα, τον Αθήναιο τον εκ Κυζίκου, τον Ερμότιμο τον Κολοφώνιο και τον Φίλιππο τον Μενδαίο.
Είναι λοιπόν ο Ευκλείδης νεότερος των περί τον Πλάτωνα, μεγαλύτερος όμως τού Ερατοσθένη και τού Αρχιμήδη. Ακολουθούσε τη φιλοσοφία τού Πλάτωνα και γι’ αυτό έθεσε ως επισφράγισμα τής συγγραφής των «Στοιχείων» την κατασκευή των λεγομένων πλατωνικών σχημάτων (την κατασκευή και εγγραφή σε σφαίρα των πέντε κανονικών πολύεδρων: τετράεδρου, κύβου, οκτάεδρου, δωδεκάεδρου και εικοσάεδρου).
Εκτός όμως των «Στοιχείων» ο Ευκλείδης έγραψε και πολλά άλλα συγγράμματα, τα οποία έχουν θαυμαστή ακρίβεια και επιστημοσύνη. Τέτοια είναι τα «Οπτικά», τα «Κατοπτρικά» και τα «Στοιχεία τής Μουσικής».
Σπουδαιότατα έργα τού Ευκλείδη χάθηκαν. Από μεταγενέστερους γνωρίζουμε τους τίτλους τους και σε γενικές γραμμές το περιεχόμενό τους. Τα έργα που χάθηκαν έφεραν τους τίτλους: «Περί διαιρέσεων» (σχημάτων), «Ψευδάρια», «Πορίσματα», «Τόποι προς επιφάνεια» (δύο βιβλία περί γεωμετρικών τόπων στο επίπεδο), «Περί κωνικών τομών» (τέσσερα βιβλία) και «Περί μηχανικής».
Ο Ευκλείδης είναι άξιος θαυμασμού για τη συγγραφή των «Στοιχείων» τής γεωμετρίας ένεκα τής τάξης και τής εκλογής των θεωρημάτων και των προβλημάτων των θεωρούμενων ως στοιχειωδών και απαραίτητων για κάθε άλλη μαθηματική έρευνα. Δέν παρέλαβε όσα απλά ήταν αναγκαία ως θεμέλιο, αλλά χρησιμοποίησε και όλα τα είδη των συλλογισμών και μεθόδους ανέλεγκτους, ακριβείς και οικείες προς τις επιστήμες.
Κατά τις αποδείξεις του χρησιμοποίησε όλες τις διαλεκτικές μεθόδους, την μεν διαιρετική για την εύρεση των ειδών, την δε οριστική στους ουσιώδεις λόγους, την δε αποδεικτική κατά την μετάβαση από τις θεμελιώδεις αρχές στα ζητούμενα, την δε αναλυτική κατά την μετάβαση αντίστροφα, από τα ζητούμενα προς τις θεμελιώδεις αρχές.
Επί πλέον, βλέπει κανείς στα «Στοιχεία» τού Ευκλείδη τα ποικίλα είδη των αντιστροφών, και των απλούστερων και των συνθετότερων, και ποιά από τα θεωρήματα έχουν αντίστροφα και ποιά όχι. Ιδιαίτερα πρέπει να τονιστεί η οικονομία και η τάξη, η οποία παρατηρείται κατά τη σύνδεση των προηγούμενων προς τα επόμενα θεωρήματα και η δύναμη, με την οποία έχει διατυπωθεί κάθε ένα από αυτά.
Ο όρος άλγεβρα είναι αραβικός. Στοιχεία όμως τής άλγεβρας περιλαμβάνει ο Ευκλείδης στα «Στοιχεία» του υπό μορφή γεωμετρικών θεωρημάτων, τα οποία οι νεότεροι ονομάζουν γεωμετρική άλγεβρα.
Τα δεκατρία βιβλία των «Στοιχείων»
Οι προτάσεις των «Στοιχείων» διακρίνονται σε δύο κατηγορίες, σε θεωρήματα και σε προβλήματα. Στα θεωρήματα ανήκουν οι προτάσεις, των οποίων ζητείται η εύρεση τής αλήθειας, δηλαδή τού ισχυρισμού τους, αποδεικτικά. Στα προβλήματα ανήκουν οι προτάσεις, στις οποίες ζητείται η κατασκευή ορισμένου γεωμετρικού σχήματος.
Μετά την απόδειξη κάθε θεωρήματος ο Ευκλείδης επαναλαμβάνει την εκφώνησή του και προσθέτει: «όπερ έδει δείξαι». Στο τέλος κάθε προβλήματος προσθέτει την φράση: «όπερ έδει ποιήσαι».
Στο πρώτο βιβλίο των «Στοιχείων» τού Ευκλείδη προτάσσονται 23 ορισμοί, 5 αιτήματα και 9 κοινές έννοιες. (Ο Αριστοτέλης αντί των όρων αίτημα και έννοια προτιμά τον όρο αξίωμα.) Ακολούθως έπονται 48 θεωρήματα και τα προβλήματα. (Το 47ο θεώρημα είναι το πυθαγόρειο θεώρημα).
Το δεύτερο βιβλίο περιέχει 14 θεωρήματα και προβλήματα, στα οποία κυρίως εξετάζονται γεωμετρικώς θεμελιώδεις ταυτότητες της άλγεβρας. Ως ενδέκατο πρόβλημα εξετάζεται το θεώρημα τής χρυσής τομής.
Στο τρίτο βιβλίο, όπου περιέχονται 37 θεωρήματα και προβλήματα, εξετάζονται οι ιδιότητες τού κύκλου, αφού προτίθενται 11 ορισμοί, στους οποίους καθορίζεται πότε οι κύκλοι είναι ίσοι, πότε ευθεία εφάπτεται κύκλου κ.λπ..
Στο τέταρτο βιβλίο, αφού προτάσσονται επτά ορισμοί, εξετάζεται η κατασκευή των απλούστερων κανονικών πολυγώνων και η εγγραφή και περιγραφή αυτών σε κύκλο σε 16 προτάσεις.
Στο πέμπτο βιβλίο προτάσσονται 18 ορισμοί και ακολουθούν 25 θεωρήματα, στα οποία ερευνώνται ιδιότητες των αναλογιών. Τον τέταρτο ορισμό οι νεώτεροι τον ονομάζουν αξίωμα τής συνέχειας, που χρησιμοποιείται στα ανώτερα μαθηματικά.
Στο έκτο βιβλίο προτάσσονται πέντε ορισμοί και ακολουθούν 33 θεωρήματα, στα οποία γίνεται η έρευνα ομοίων σχημάτων.
Το έβδομο, όγδοο και ένατο βιβλία περιέχουν τα στοιχεία τής θεωρίας των αριθμών.
Το δέκατο βιβλίο είναι το εκτενέστερο όλων. Περιέχει τέσσερις ορισμούς και 115 θεωρήματα. Είναι το δυσκολότερο από όλα τα βιβλία των «Στοιχείων». Είναι ζήτημα αν υπάρχουν ελάχιστοι μαθηματικοί στον κόσμο, οι οποίοι το κατανοούν. Εξ άλλου δεν υπάρχει ομοφωνία μεταξύ των ειδικών για το σκοπό του βιβλίου αυτού, το οποίο σύμφωνα με ορισμένους αποσκοπεί στο να δείξει, ότι η αρμονία τού Σύμπαντος διέπεται από τη συμμετρία και την ασυμμετρία, οι οποίες συνδυαζόμενες παράγουν αρμονία, όπως θεωρείται ότι αυτό νοείται από την πλατωνική διδασκαλία.
Το ενδέκατο, δωδέκατο και δέκατο τρίτο βιβλία αφορούν στη στερεομετρία. Τού ενδέκατου βιβλίου προτάσσονται 28 ορισμοί, οι οποίοι καθορίζουν τα στερεά σχήματα και έπονται 39 θεωρήματα, στα οποία εξετάζονται τα πρίσματα. Η πυραμίδα, ο κώνος, ο κύλινδρος και η σφαίρα εξετάζονται σε 18 θεωρήματα τού δωδεκάτου βιβλίου, ενώ η σπουδή και η εγγραφή των πέντε κανονικών πολυέδρων σε σφαίρα γίνεται στο δέκατο τρίτο και τελευταίο βιβλίο των «Στοιχείων», το οποίο περιέχει επίσης 18 θεωρήματα.
Οι μέθοδοι απόδειξης, τις οποίες χρησιμοποιεί ο Ευκλείδης στα «Στοιχεία» είναι οι εξής τέσσερις: Η συνθετική, η τής απαγωγής σε άτοπο (ή σε αδύνατο), η αναλυτική και η τής τέλειας επαγωγής (ή τού αναδρομικού συλλογισμού). Κατά γενική ομολογία η συνθετική μέθοδος είναι η κατ’ εξοχή χρησιμοποιούμενη από τη μαθηματική επιστήμη. Ο Αριστοτέλης την ονομάζει δεικτική ή κατηγορική.
Οι δήθεν μή ευκλείδειες γεωμετρίες
Τον 19ο αιώνα εξαγγέλθηκε, ότι εκτός τής γεωμετρίας τού Ευκλείδη ανακαλύφθηκαν και άλλα δύο είδη γεωμετριών, μη ευκλείδειων, των οποίων το μεν ένα είδος ονομάστηκε υπερβολική γεωμετρία, το δε άλλο ονομάστηκε ελλειπτική γεωμετρία.
Υποστηριζόταν, ότι η μεν γεωμετρία τού Ευκλείδη ισχύει για τις μικρές αποστάσεις, ενώ οι μή ευκλείδειες ισχύουν για τις μεγάλες αποστάσεις και τα μεγάλα τρίγωνα.
Προϊόντος τού χρόνου παρατηρήθηκε, ότι ενώ ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί ως υπόβαθρο τής γεωμετρίας του 14 αξιώματα, οι ισχυριζόμενοι, ότι ανακάλυψαν τις μή ευκλείδειες γεωμετρίες, λαμβάνουν 13 αξιώματα τού Ευκλείδη, τα βαπτίζουν «απόλυτη γεωμετρία» και σε αυτά προσθέτουν ένα αξίωμα περί παραλλήλων, διαφορετικό τού πέμπτου ευκλείδειου αξιώματος περί παραλλήλων.
Δεδομένου, ότι οι νέες γεωμετρίες είναι κατά τα 13/14 ευκλείδειες, η πλέον εύστοχη ονομασία τους έπρεπε να είναι: «Ασκήσεις επί τής ευκλείδειας γεωμετρίας».
Το αξίωμα τού Ευκλείδη περί παραλλήλων πρεσβεύει, ότι «εάν σε ένα επίπεδο θεωρήσουμε ευθεία γραμμή και ένα σημείο τού επιπέδου εκτός τής ευθείας, από το σημείο αυτό άγεται μια μόνο παράλληλος προς την ευθεία».
Σύμφωνα με την υπερβολική -μή ευκλείδεια- γεωμετρία, «από εκτός ευθείας σημείο τού επιπέδου άγονται άπειροι παράλληλοι προς την ευθεία».
Σύμφωνα με την ελλειπτική -μή ευκλείδεια- γεωμετρία, «από εκτός ευθείας σημείο τού επιπέδου καμμία παράλληλος δέν άγεται προς την ευθεία».
Οι κατασκευαστές των δορυφόρων και των πυραύλων περιφρονούν τελείως τις μή ευκλείδειες γεωμετρίες, που δήθεν ισχύουν για τις μεγάλες αποστάσεις, και χρησιμοποιούν για τις κατασκευές τους μόνο την ευκλείδεια γεωμετρία.
Εξ ίσου ενδιαφέρουσα είναι και η παρατήρηση, ότι κατά τα τελευταία έτη διδασκόταν στη θεωρία των συνόλων, σε όλα τα πανεπιστήμια τού κόσμου, ότι το μέρος είναι μεγαλύτερο τού όλου προς «μεγάλη έκπληξη και καγχασμό τού Ευκλείδη», ο οποίος διδάσκει, ότι το όλον είναι μεγαλύτερο τού μέρους.
Και ναι μέν ο Ησίοδος γράφει, ότι το ήμισυ είναι περισσότερο τού όλου, Αυτό όμως, όχι με την μαθηματική έννοια, αλλά με την έννοια, ότι αυτός, που έχει λίγα εισοδήματα, αλλά δαπανά με σύνεση, περνάει καλύτερα από τον πλούσιο, αλλά σπάταλο.
Αλλά και άλλες παρατηρήσεις σημειώνονται στις αρχές τής γεωμετρίας, από τη δημιουργία τής λεγομένης συμβολικής και τής μαθηματικής λογικής. Υποστηρίζουν λοιπόν, ότι η λογική είναι μια και ισχύει για όλες τις επιστήμες, όπως την διατύπωσε ο Αριστοτέλης, κι ότι αν υπάρχει συμβολική λογική και μαθηματική λογική, θα πρέπει να υπάρχει και φυσική λογική και φιλολογική λογική και φαρμακευτική λογική κ.τ.λ.. Τίποτε όμως, δέν ακούγεται για την ύπαρξη τέτοιων λογικών!
Ο Στοβαίος (ε΄αι. μ.Χ.) διέσωσε το ακόλουθο χαρακτηριστικό περιστατικό μεταξύ τού Ευκλείδη και κάποιου μαθητή του: Όταν κάποιος, που άρχισε να διδάσκεται γεωμετρία από τον Ευκλείδη, έμαθε το πρώτο θεώρημα, ρώτησε τον Ευκλείδη: «Και τώρα τι κέρδος θα έχω, αφού το έμαθα;»
Ο Ευκλείδης κάλεσε τον υπηρέτη του και τού είπε: «Δώσε του τρεις οβολούς, επειδή πρέπει να κερδίζει από εκείνα, τα οποία μαθαίνει.» (Ανθολογία Στοβαίου, εκδ. Μeineke, τομ. IV, σελ. 205.)
Πήγαινε: στην Αρχή της Σελίδας
ΕΡΓΑ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗ
Στοιχεία: Αν και γνωστά για τα γεωμετρικά τους αποτελέσματα, τα Στοιχεία περιέχουν και τη θεωρία των αριθμών. Θεωρείται η ένωση ανάμεσα στους τέλειους αριθμούς και τους αριθμούς του Μερσέν (γνωστό σαν Θεώρημα Ευκλείδη-Όιλερ), η απειρία των πρώτων αριθμών λήμμα του Ευκλείδη στην παραγοντοποίηση (η οποία οδηγεί στο θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής, της μοναδικότητας και του Ευκλείδειου αλγορίθμου για την εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη δύο αριθμών). Το γεωμετρικό σύστημα που περιγράφεται στα στοιχεία ήταν γνωστό από καιρό απλά ως γεωμετρία, και θεωρήθηκε ότι είναι η μοναδική γεωμετρία. Σήμερα, ωστόσο, το σύστημα αυτό αποκαλείτε Ευκλείδεια γεωμετρία για να διακρίνετε από άλλες λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες που οι μαθηματικοί ανακάλυψαν τον 19ο αιώνα.
Οπτική: Η οπτική είναι η αρχαιότερη σωζόμενη ελληνική πραγματεία σχετικά με την προοπτική. Στους ορισμούς του Ευκλείδη ακολουθεί την πλατωνική παράδοση ότι το όραμα προκαλείται από διακριτές ακτίνες που προέρχονται από το μάτι. Ένας σημαντικός ορισμός είναι ο τέταρτος: "Τα πράγματα που φαίνονται υπό μια μεγαλύτερη γωνία φαίνονται μεγαλύτερα και εκείνα κάτω από μια μικρότερη γωνία λιγότερο, ενώ εκείνα κάτω από ίσες γωνίες φαίνονται ίσα." Στις 36 προτάσεις που ακολουθούν, ο Ευκλείδης συσχετίζει το φαινομενικό μέγεθος ενός αντικειμένου με την απόστασή του από το μάτι και διερευνά τα φαινομενικά σχήματα κυλίνδρων και κώνων όταν βλέπουν από διαφορετικές γωνίες. Η πρόταση 45 είναι ενδιαφέρουσα, αποδεικνύοντας ότι για οποιαδήποτε δύο άνισα μεγέθη υπάρχει ένα σημείο από το οποίο τα δύο φαίνονται ίσα. Ο Πάππος πίστευε ότι αυτά τα αποτελέσματα ήταν σημαντικά στην αστρονομία και συμπεριέλαβαν την οπτική του Ευκλείδη, στη Μικρή Αστρονομία, μια συλλογή μικρότερων έργων που πρέπει να μελετηθούν πριν από την Σύνταξη του Κλαύδιου Πτολεμαίου.
Κατοπτρική: Αφορά την κατοπτρική θεωρία των μαθηματικών και πιο συγκεκριμένα τις εικόνες που σχηματίζονται σε απλή και σφαιρική κοίλη με το κάτοπτρο.
Δεδομένα: Τα δεδομένα ασχολούνται με την φύση και τις συνέπειες των δοσμένων πληροφοριών στα γεωμετρικά προβλήματα, θέμα που είναι στενά συνδεδεμένο με τα τέσσερα πρώτα βιβλία των Στοιχείων.
Φαινόμενα: Είναι μια πραγματεία για τη σφαιρική αστρονομία
Χαμένα έργα
Μηχανική:Κοινωνική: Η κωνική ήταν ένα έργο για τις κωνικές τομές που αργότερα επεκτάθηκε από τον Απολλώνιο της Πέργας στο διάσημο έργο του για το θέμα. Είναι πιθανό τα πρώτα τέσσερα βιβλία του έργου του Απολλώνιου να προέρχονται απευθείας από τον Ευκλείδη. Σύμφωνα με τον Πάππο, «ο Απολλώνιος, αφού ολοκλήρωσε τα τέσσερα βιβλία των κωνικών του Ευκλείδη και πρόσθεσε τέσσερις άλλους, έδωσε οκτώ τόμους κώνων». Τα κωνικά του Απολλώνιου αντικατέστησαν γρήγορα την προηγούμενη δουλειά από την εποχή του Πάππου, το έργο του Ευκλείδη είχε ήδη χαθεί.
Μηχανική: Αρκετά έργα στον τομέα της μηχανικής αποδίδονται στο Ευκλείδη, από αραβικές πηγές. Σε αυτό που περιέχει το βαρύ και το ελαφρύ, σε εννέα ορισμούς και πέντε προτάσεις, Αριστοτελικές αντιλήψεις για κινούμενα σώματα και την έννοια της ειδικής βαρύτητας. Στο χειρισμό της βαρύτητας αντιμετωπίζεται η θεωρία του μοχλού με έναν παρόμοιο ευκλείδειο τρόπο, ο οποίος περιέχει έναν ορισμό, δύο αξιώματα και τέσσερις προτάσεις. Ένα τρίτο κομμάτι, στους κύκλους που περιγράφονται από τα άκρα ενός κινούμενου μοχλού, περιέχει τέσσερις προτάσεις. Αυτά τα τρία έργα συμπληρώνουν το ένα το άλλο με τέτοιο τρόπο ώστε να έχουν προταθεί ότι είναι υπολείμματα μιας ενιαίας πραγματικότητας για τη μηχανική που γράφει ο Ευκλείδης.
Πήγαινε: στην Αρχή της Σελίδας
Η αξιωματικη μεθοδος. Ευκλειδης και Χιλμπερτ
…Ο κόσμος είναι σκοτεινός, όμως αρκεί να παρεμβάλουμε ένα κομμάτι Ελληνικής ζωής για να φωτιστεί αμέσως άπλετα… Νίτσε
Η σπουδαιότερη θεμελιωτική διαδικασία στα μαθηματικά και στην επιστήμη, ήταν η αξιωματική μέθοδος. Χωρίς αυτή δεν υπάρχουν επιστήμες.
Βέβαια μαθηματικά υπήρχαν και πριν τον Ευκλείδη, αλλά τα μαθηματικά μετά τον Ευκλείδη ήταν ε π ι σ τ ή μ η.
Ο συλλογισμός ξεκινάει τότε που οι Έλληνες ανακάλυψαν την αφαίρεση, τον παραγωγικό συλλογισμό (1) και τελικά τη μαθηματική απόδειξη, μια νέα μορφή αντίληψης και σκέψης, μετατρέποντας τον εμπειρικό λογισμό των Βαβυλωνίων και των Αιγυπτίων, σε αυτό που είναι γνωστό σήμερα ως Μαθηματική επιστήμη. Έκριναν δηλαδή ότι οι γεωμετρικές αλήθειες – ο πρώτος παραγωγικός συλλογισμός έγινε στο πεδίο της Γεωμετρίας – έπρεπε να επαληθεύονται με λογική απόδειξη κι όχι μόνο με πειραματικές μεθόδους, (π.χ μετρήσεις), κι αυτό είναι το λεγόμενο Ελληνικό μυστήριο. Στο σημείο αυτό ξεκίνησε η μηχανή του Λόγου που έκτοτεδεν σταμάτησε ποτέ, κάποτε καθυστέρησε, και τελικά γέννησε την Επιστήμη, μέσα από την αξιωματική μέθοδο.
Η μαθηματική απόδειξη είναι η κορύφωση της μαθηματικής δημιουργίας, δεν προέκυψε από κάποιο είδος εμπειρίας, ούτε ερμηνεύεται μηχανικά με τη μέθοδο της δοκιμής και σφάλματος, ούτε από τη σύμπτωση. Η πνευματική της διαδικασία είναι απροσδιόριστη όπως στη μουσική ή στην ποίηση. Είναι ένα φλας που ανάβει στο μυαλό των πνευματικών δημιουργών, και ανήκει σε έναν άλλο άγνωστο κόσμο! Είναι εκείνη η περίεργη χαρά που νιώθαμε στο σχολείο όταν λύναμε μια άσκηση γεωμετρίας. Όλοι γνωρίσαμε – βιώσαμετην αύρα της επιβεβαίωσης της ορθότητας της μαθηματικής απόδειξης και δεν χρειάζεται να πούμε τίποτα άλλο. Η αύρα αυτή είναι η απάντηση σε κάθε θεμελιωτικό πρόγραμμα της φιλοσοφίας για τα μαθηματικά.
Οι Πυθαγόρειοι και ο Θαλής ο Μιλήσιος, ήταν οι πρώτοι που πρωτοαντίκρυσαν έκπληκτοι το μαθηματικό αυτό κόσμο της φαντασίας που φανερώθηκε μπροστά τους, μέσα από τον παραγωγικό συλλογισμό.Το χαρακτηριστικό γεγονός της απαρχής του Ελληνικού τρόπου της γεωμετρίας είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο χαρακτηρίζεται από πολλούς ερευνητές ωςη μεγαλύτερη στιγμή της Μαθηματικής σκέψης. Είναι γνωστό σήμερα ότι οι Αρχαίοι Βαβυλώνιοι που έζησαν χίλια χρόνια πριν από τον Πυθαγόρα, γνώριζαν το θεώρημά του. Βέβαιο είναι εξ’ άλλου ότι το θεώρημα γνώριζαν και οι Αιγύπτιοι τοπογράφοι και μηχανικοί. Όμως όλες οι μη Ελληνικές αναφορές στο θεώρημα δεν περιέχουν κάποια απόδειξή του,«….άρα πρέπει να είναι αληθές ότι ο Πυθαγόρας, ή κάποιο μέλος της Σχολής που ίδρυσε (ο ίδιος) ήταν εκείνος που πρώτος έδωσε μια λογική απόδειξη του θεωρήματος. (Η. Eves, Μεγάλες στιγμές των Μαθηματικών.)»
Η ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ
Η βασικότερη μέθοδος των Μαθηματικών (το αρχιτεκτονικό σχέδιο για την οικοδόμηση της Γεωμετρίας) είναι η αξιωματική μέθοδος, με την οποία οργανώσαμε μια μεγάλη ποσότητα γνώσης ώστε αυτή να παράγεται αποδεικτικά από μερικές σαφώς σχεδιασμένες υποθέσεις. Η λογική και ο παραγωγικός συλλογισμός είναι η εσωτερική μηχανή της αξιωματικής μεθόδου.
Τι είναι όμως και πως εμφανίστηκε η αξιωματική μέθοδος; Μια καλή εικόνα που φαίνεται να αποδίδει, μας δίνει ο H. Eves: «καθώς οι παραγωγικοί συλλογισμοί στη Γεωμετρία των Πυθαγορείων αυξάνονταν,και οι λογικές αλυσίδες μάκραιναν και πολλές συμπλέκονταν μεταξύ τους, γεννήθηκε η φοβερή ιδέα, ολόκληρη η Γεωμετρία να καταστεί μια μοναδική αλυσίδα συλλογισμών» (θεμέλια των μαθηματικών). Η μοναδική αυτή αλυσίδα θα ξεκινούσε από κάπου. Θα έπρεπε λοιπόν κανείς να δεχτεί χωρίς απόδειξη μερικές προτάσεις και όλες τις άλλες προτάσεις του συστήματος να τις παράξει από τις αρχικές, με την αποκλειστική βοήθεια των αρχών της λογικής (παραγωγικός συλλογισμός). Αυτές οι προτάσεις είναι η αξιωματική βάση (της γεωμετρίας)
Την αξιωματική μέθοδο την ανέπτυξε θεωρητικά ο (Θείος)Αριστοτέλης (2) και την εφάρμοσε για πρώτη φορά σε ολόκληρη τη γεωμετρία ο Ευκλείδης(300 π.χ), με την πεποίθηση ότι η αξιωματική μέθοδος συστηματικοποιεί και προάγει τη λογική σκέψη παράγοντας «νέα και αναγκαία γνώση». (3)
Το θεωρητικό μανιφέστο της αξιωματικής μεθόδου, η οποία υπήρξε η μεγαλύτερη συνεισφορά των Ελλήνων στα μαθηματικά, το βρίσκουμε στα «Αναλυτικά ύστερα» του Αριστοτέλη. Είναι ο τρόπος που οργανώνεται ένα παραγωγικό σύστημα, το οποίο διαφέρει από μια απλή συλλογή προτάσεων. Εκεί παρουσιάζονται οι «πρώτες αρχές» που θα πρέπει να πληρεί κάθε αποδεικτικήεπιστήμη, οι οποίες κατ’ ουσία είναι ίδιες. Αυτές θα πρέπει ναστρέφονται γύρω από τρία πράγματα:
εκείνα που θεωρεί ότι υπάρχουν, οι ορισμοί του γένους της επιστήμης, οι οποίοι απλά εξηγούν τη σημασία των όρων που εμπλέκονται στο εγχείρημα (π.χ ο ορισμός στα «Στοιχεία»: μια οξεία γωνία είναι μια γωνία μικρότερη μιας ορθής γωνίας)
οι κοινές αρχές, που είναι γενικές αρχές που ισχύουν σε κάθε πεδίο μελέτης, σε κάθε επιστήμη και θεωρούνται αυταπόδεικτες (αν σε ίσα προστεθούν ίσα, προκύπτουν ίσα)
τα αξιώματαγια τα οποία η επιστήμη θεωρεί δεδομένο το τι σημαίνουν και συνδέονται με μια συγκεκριμένη επιστήμη. Το αξίωμα το δεχόμαστε ως αληθινό έστω κι αν αυτό δεν αποδεικνύεται ως λογικό, ούτε είναι απόλυτα φανερό. Τα αξιώματα δεν αποδεικνύονται, επιλέγονται. Είναι η πνευματική σφραγίδα του δημιουργού της θεωρίας. «….Το αξίωμα είναι μια υπόθεση όχι αναγκαστικά φανερή ούτε αναγκαστική αποδεκτή από το μαθητή. (Αριστοτέλης Αναλυτικά ύστερα), ακόμα δεν πρέπει να επιζητείται η απόδειξη των πάντων, διότι κάποιος που κάνει κάτι τέτοιο θα βαδίζει προς τα πίσω επ’ άπειρον επιζητώνταςτην απόδειξη κάθε αρχής». Για παράδειγμα, στην κλασσική μηχανική, τα Αριστοτελικά αξιώματα είναι οι νόμοι του Νεύτωνα. Δεν είναι λογικόούτε απόλυτα φανερό ότι ένα σώμα στο οποίο δεν ασκούνται δυνάμεις συνεχίζει να κινείται επ’ άπειρον.
Μια απόδειξη σε ένα αξιωματικό σύστημα L,είναι μια διατεταγμένη λίστα προτάσεων p1,p2,,,pn τέτοιων ώστε κάθε πρόταση της λίστας, να είναι είτε αξίωμα, είτε να παρήχθηκε από προηγούμενες προτάσεις της λίστας, σύμφωνα με τους κανόνες του συστήματος. Ένα θεώρημα θ, είναι ακριβώς μια πρόταση του L,για την οποία υπάρχει μια λογική αλυσίδα προτάσεων p1,p2, , , pn =θ, η οποία να καταλήγει στο θ. Έτσι η οργάνωση της γνώσης σε ένα αξιωματικό σύστημα θέτει το βάρος της αλήθειας στα αξιώματα του συστήματος, παρά σε μια κατανομή της αλήθειας σε όλο το σώμα της γνώσης.
Ο Ευκλείδης (3ος αιώνας) εφάρμοσε τη διδασκαλία του Αριστοτέλη στο διάσημο και αιώνιο έργο του «τα Στοιχεία», το οποίο υπήρξε ο αξεπέραστος κανόνας της αξιωματικής μεθόδου για πάνω από δύο χιλιάδες χρόνια. Έδωσε ορισμούς μερικών βασικών εννοιών, (όπως σημείων, ευθειών), όρισε μερικές προτάσεις γι’ αυτές (αξιώματα) και ακολούθησε τις λογικές τους συνέπειες όσο μπόρεσε (465 προτάσεις). Η προσέγγιση αυτή ήταν πράγματι μια τελείως καινούργια ιδέα,μια ιδέα που παραμένει η βασική για τα μαθηματικά και ολόκληρη την επιστήμη σήμερα. και καθιέρωσε την ιδέα ότι«Επιστήμη είναι η γνώση που θεμελιώνεται πάνω σε μερικές γενικές αρχές και παράγεται με τη λειτουργία των νόμων της Λογικής μέσα σε ένα σύνολο από σχετικές έννοιες» (4).
Από το υλικό που είχαν παράξει οι Πυθαγόρειοι και άλλοι μαθηματικοί, συναρμολόγησε τη θεωρία της Γεωμετρίας σε ένα ασφαλές λογικό σύνολο, βασισμένο στα πέντε αξιώματά του. Αυτά που είναι σε όλους μας γνωστά, είναι το μοντέλο της (κλασσικής) αξιωματικής μεθόδου
Η ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΤΗΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΤΗΣ ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ.
Η ανακάλυψη των μη Ευκλείδειων γεωμετριών υπήρξε ένα σοκ για τη σπουδαιότητα και τη σημασία της αξιωματικής μεθόδου. Ήταν τότε που η μορφή της άλλαξε τελείως. Η κλασσική αξιωματική μέθοδος μεταλλάχτηκε στην τυπική αξιωματική μέθοδο, (formal aχiomatics), και χρειάζεται ένα παράδειγμα για την κατανόηση των θεωρητικών αφηγήσεων:
Μια τυπική αξιωματική βάση του 19ου αιώνα, είναι ο ορισμός της ομάδας.
Ορισμός Ονομάζουμε ομάδα μη κενό σύνολο G εφοδιασμένο με μία πράξη* (5) με τις ακόλουθες ιδιότητες:
Α. η πράξη* είναι «εσωτερική», δηλαδή το αποτέλεσμά της σε δύο τυχόντα στοιχεία του συνόλου G είναι στοιχείο του συνόλου G. (το σύνολο είναι κλειστό ως προς την πράξη).
Β. Η πράξη* είναι προσεταιριστική δηλαδή (α * β) * γ=α * (β * γ) για όλα τα στοιχεία α,β,γ G .
Γ. υπάρχει ένα στοιχείο e του G (ουδέτερο στοιχείο) τέτοιο ώστε e * α=α * e=α για κάθε στοιχείο α του G.
Δ. Για κάθε α εG υπάρχει ένα στοιχείο α-1 που ανήκει στο G(αντίστροφο στοιχείο του α) με την ιδιότητα α-1 * α=α * α-1= e,
Τι διαφέρει από τη γνωστή μας βάση του Ευκλείδη;
Εδώ οι ορισμοί του γένους δεν υπάρχουν, η πράξη δεν υπάρχει, έχουμε απλά στοιχεία ενός συνόλου και τα αξιώματα είναι ιδιότητες της πράξης. Είναι αυτό που λέμε μαθηματική ελευθερία, όπου τα «μαθηματικά ασχολούνται με αυθαίρετα σύμβολα, άνευ νοήματος, δεν είναι τώρα σημεία ή ευθείες όπως στην αξιωματική βάση του Ευκλείδη,οι μαθηματικοί κατασκευάζουν τους κανόνες χειρισμού τους (αφηρημένα αξιώματα) και η ερμηνεία ακολουθεί μάλλον παρά προηγείται των μαθηματικών χειρισμών». Η ομάδα μπορεί να περιγράφει τους ακέραιους αριθμούς, αλλά και τους τετραγωνικούς πίνακες, τις μεταθέσεις των στοιχείων ενός συνόλου, τους μιγαδικούς εκτός από το μηδέν και άλλα διάφορα. Αυτά είναι τα μοντέλα της.
Πως φτάσαμε ως εδώ; Η αφετηρία είναι οι μη Ευκλείδειες γεωμετρίες.
Οι νέες αυτές γεωμετρίες, αποδείχτηκαν συνεπείς όσο και η Ευκλείδεια, και πέρα από το σεισμό που προκάλεσαν, (οι Καντιανοί φιλόσοφοι έλεγαν ότι δεν είναι στην πραγματικότητα γεωμετρίες, ένας από αυτούς ήταν ο GottlobFrege ο θεμελιωτής της σύγχρονης Λογικής) άρχισαν να αναδεικνύουντην αξιωματική μέθοδο σε έναν ρόλο πανίσχυρο, μοναδικό, που ίσως δεν είχαν φανταστεί ο Αριστοτέλης και ο Ευκλείδης. Αλλάζοντας ένα αξίωμα άλλαζες τον κόσμο (6), πράγμα που προετοίμαζε την ιδέα ότι η μάχη της μαθηματικής «αλήθειας» θα δοθεί στην «αλήθεια» των αξιωμάτων. Συγχρόνως, υπονομεύτηκε η πεποίθηση ότι τα αξιώματα της γεωμετρίας μπορούσαν να εδραιωθούν με το προφανές αυταπόδεικτό τους. «…Δηλαδή όλα τα μαθηματικά φαίνονταν να είναι εξαγωγή θεωρημάτων από αξιωματικοποιημένες παραδοχές, αλλά η αλήθεια των αξιωμάτων δεν ήταν εξασφαλισμένη από τ ί π ο τ α. …Επιπλέον έγινε σαφές ότι η σωστή δουλειά του καθαρού μαθηματικού είναι να παράγει θεωρήματα από αξιωματικοποιημένες παραδοχές, ενώ δεν είναι στη δικαιοδοσία του ως μαθηματικού να αποφασίσει αν τα αξιώματα είναι πράγματι αληθή…» (Nagel). Και ποιος θα καθόριζε την αλήθεια τους; Πάντως όχι μαθηματικός, τα μαθηματικά είναι μια υποθετικο-παραγωγική επιστήμη. Όλα αυτά φαίνονται στο παράδειγμα της ομάδας.
Τώρα η κλασσική αξιωματική μέθοδος του Ευκλείδη έγινε τυπική αξιωματική μέθοδος (formalaxiomatics) με το Χίλμπερτ στη θέση του Ευκλείδη, ο οποίος ξεκίνησε το έργοτης αναβάθμισης της αξιωματικής μεθόδου από την αρχή, μελετώντας όπως ο Ευκλείδης το έργο των νεώτερων γεωμετρών (Λομπατσέσκυ, Ρήμαν, Γκάους, Πασκάλ Καρτέσιου κλπ), επανα-ορίζοντας μια αξιωματική βάση για την Ευκλείδεια πάλι γεωμετρία, που ήταν το παγκόσμιο πρότυπο.
Ποιο ήταν το κύριο χαρακτηριστικό της αλλαγής; Ήταν η απομάκρυνση των αξιωματικών βάσεων από τη διαίσθηση, αφού τα άφιλα αξιώματα του Λομπατσέφσκυ και του Ρήμαν, λειτουργούσαν όπως του Ευκλείδη. Τώρα, οι αξιωματικές βάσεις θεωρούνται απλώς σημεία εκκίνησης για τη δοθείσα θεωρία, όπου η λογική και μόνο θα παρήγαγε τη θεωρία. (7) Σιγά-σιγά έγινε αντιληπτό ότι ένα δοθέν σύνολο αξιωμάτων θα μπορούσε να είναι έγκυρο, κάτω από διαφορετικές ερμηνείες, τα αξιώματα θα μπορούσαν να αποδίδουν διάφορες πραγματικότητες. Αυτό είναι μια γενίκευση εννοιών, που ανέδειξε την (τυπική) αξιωματική μέθοδο στις αρχές του εικοστού αιώνα, ως το απόλυτο θεμέλιο της μαθηματικής επιστήμης. Τώρα οι ειδικοί όροι του αξιωματικού συστήματος αφήνονται ανερμήνευτοι (απροσδιόριστοι) από την αρχή. Η μοναδική απαίτηση είναι τα αξιώματα να είναι συνεπή δηλαδή αληθή για κάποια πραγματικότητα, αλλά δεν απαιτούμε αυτή η πραγματικότητα να καθορίζεται. Εδώ ο ρόλος της αλήθειας παίζεται από τη συνέπεια και η συνέπεια εξαρτάται μόνο από τη (συντακτική) μορφή των αξιωμάτων στα λογικά τους μέρη και όχι από την ειδική σημασία τους σε κάποια ερμηνεία. Η ομάδα είναι μια συνεπής αφηρημένη δομή που μελετάται ανεξάρτητα στα μαθηματικά. Προσέξτε την επέκταση των εννοιών: οι ακέραιοι, οι τετραγωνικοί πίνακες, οι μεταθέσεις και άλλα , είναι ομάδες.
Ο Χίλμπερτ εφάρμοσε την πορεία αυτή, στην Ευκλείδεια γεωμετρία. Τα 14 αξιώματα που έθεσε για την επιπεδομετρία, χωρίζονται σε πέντε ομάδες,
Ομάδα Ι (2 αξιώματα σύνδεσης)
Ομάδα ΙΙ (3 αξιώματα διάταξης)
Ομάδα ΙΙΙ (6 αξιώματα ισότητας)
Ομάδα ΙV (1 αξίωμα, αίτημα του Ευκλείδη)
Ομάδα V (2 αξιώματα συνέχειας)
Δεν έχουν σχέση με τη διαίσθηση, καλύπτουν
«λογικά κενά» του Ευκλείδη όπως για παράδειγμα το 1ο αξίωμα διάταξης: Αν το σημείο Γ είναι ανάμεσα στα Α και Β , τότε τα Α,Β,Γ είναι τρία διακεκριμένα σημεία της ίδια ευθείας, και το Γ είναι ανάμεσα στα Β και Α, και το Β όχι ανάμεσα στα Γ και Α, και το Α όχι ανάμεσα στα Γ και Β
και η Ευκλείδεια γεωμετρία τώρα εμφανίζεται όπως η ομάδα, κάτι αφηρημένο, «Θεωρούμε τρία συστήματα από «όντα» τα όντα του πρώτου συστήματος θα τα ονομάζουμε σημεία, του δευτέρου συστήματος ευθείες, και του τρίτου συστήματος επίπεδα». Βλέπουμε λοιπόν τα όντα δεν ανακαλούν εικόνες από την εμπειρία, μπορεί να είναι τα γνωστά Ευκλείδεια μπορεί και μπουκάλια, πηρούνια και καρέκλες είπε ο Χίλμπερτ.
«Τα όντα αυτά βρίσκονται σε αμοιβαίες σχέσεις και δηλώνουμε τις σχέσεις αυτές με λέξεις όπως κείνται, μεταξύ, ίσος, παράλληλος, συνεχής. Η ακριβής και, για τους στόχους των μαθηματικών, πλήρης περιγραφή αυτών των σχέσεων γίνεται εφικτή μέσω των αξιωμάτων της γεωμετρίας». Σε αυτά τα 14 αξιώματα βασίζεται η Ευκλείδεια γεωμετρία. Τα αξιώματα διάταξης έχουν ιστορικό ενδιαφέρον γιατί δεν υπήρχαν στη βάση του Ευκλείδη π.χ το δεύτερο για οποιαδήποτε διακεκριμένα σημεία Α και Β στην ίδια ευθεία, υπάρχει πάντα ένα Γ τέτοιο ώστε το Β να είναι ανάμεσα στα Α και Γ.
Στην ουσία λοιπόν δεν γνωρίζουμε γιατί μιλούμε, (δείτε την ομάδα) σημασία έχουν οι κανόνες και η λογική, «τα μαθηματικά είναι ένας συνδυασμός από σύμβολα χωρίς σημασία».
«ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ» του Χίλμπερτ
Μετά την συμπλήρωση της αξιωματικής μελέτης της γεωμετρίας απο το Χίλμπερτ, ακολούθησαν κι’ άλλες αξιωματικές βάσεις για την Ευκλείδεια γεωμετρία. Πρέπει να καταλάβουμε ότι οι αξιωματικές βάσεις έγιναν ένα παιχνίδι με λογικούς κανόνες και τίποτα παραπάνω. Όμως δεν παρέμειναν χωρίς μαθηματική αστυνόμευση για κάποια μαθηματική συμπεριφορά, αλλιώς δε θα ήταν μαθηματικά. Είναι τα μεταμαθηματικά που θα δούμε στη συνέχεια.
Ο Veblen έδωσε μια νέα αξιωματική βάση όπου αντικατέστησε την έννοια του μεταξύ που χρησιμοποίησε ο Χίλμπερτ και ο Πεάνο, με την έννοια της τάξης. Ένας συνδυασμός των βάσεων Χίλμπερτ και Veblenέγινε από το Robinsonκαι η μελέτη συνεχώς γινόταν αφηρημένη και τυπική. Η επανάσταση του Χίλμπερτ είχε συνέπεια στους δύο τελευταίους αιώνες η αξιωματική μέθοδος να αξιοποιείται όλο και περισσότερο. Καινούργιοι και παλιοί κλάδοι των μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένης της γνωστής μας αριθμητικής των ακεραίων αριθμών, εφοδιάστηκαν με ένα επαρκές , κατά τα φαινόμενα, σύνολο αξιωμάτων. Οι ιδέες που έφεραν οι τυπικές αξιωματικοποιήσεις, για τον Χίλμπερτ αποτέλεσαν την φορμαλιστική άποψη για τα μαθηματικά, ότι δηλαδή, τα μαθηματικά ήταν πιο αφηρημένα και τυπικά απ’ ό, τι θεωρούνταν παραδοσιακά (Ναgel), πιο αφηρημένα γιατί μπορεί να δοθεί οποιαδήποτε ερμηνεία στα σύμβολα και πιο τυπικά επειδή η εγκυρότητα των μαθηματικών αποδείξεων εδράζεται μάλλον στη δομή των προτάσεων παρά σε συγκεκριμένο περιεχόμενο. Οι ιστορικές προυποθέσεις του φορμαλισμού ήταν οι μη Ευκλείδειες γεωμετρίες (απελευθέρωση της Γεωμετρίας) όπως παρακολουθήσαμε στην πορεία του άρθρου, και η εμφάνιση της δομής στην Άλγεβρα (απελευθέρωση της άλγεβρας) που θα δούμε σε άλλο άρθρο.
Ο φορμαλισμός φαίνεται να επαληθεύει την άποψη της «εκ των υστέρων φιλοσοφία» κατά την οποία «η φιλοσοφία είναι μια ταπεινή υπηρέτρια των μαθηματικών, και ο φιλόσοφος πρέπει να είναι έτοιμος να απορρίψει το έργο του χωρίς δισταγμό, αν οι εξελίξεις στα μαθηματικά έρχονται σε σύγκρουση με αυτό, η φιλοσοφία έπεται της μαθηματικής πρακτικής κι αυτό αν χρειαστεί (Philosofy-last-if-at-all) (Shapiro)
Στα πλαίσια του φορμαλισμού, ο Χίλμπερτ στο βιβλίο αυτό που είναι σταθμός στην ιστορίατων μαθηματικών, βιβλίο με τεράστια απήχηση στην προαγωγή της μοντέρνας αξιωματικής μεθόδου, με εκδόσεις μέχρι το 1968, διατυπώνει την άποψη ότι η επιλογή των αξιωμάτων δεν υπόκειται σε ειδικούς περιορισμούς, πρέπει όμως να τηρούνται οι επόμενες γενικές αρχές που αφορούν την εκ των έξω –ή «μεταμαθηματική» επόπτευση των ιδιοτήτων των αξιωματικών συστημάτων. Ο Χίλμπερτ για να τονίσει τη διαφορά ανάμεσα στα θεμέλια των μαθηματικών και στα ίδια τα μαθηματικά, εισήγαγε για τα πρώτα τον όρο μεταμαθηματικά.
1.Το σύστημα των αξιωμάτων πρέπει να είναι απαλλαγμένο αντιφάσεων, δηλαδή δεν είναι δυνατόν να συνυπάρχει μια κατάφαση Α με την άρνησή της όχι Α. Ένα τέτοιο σύνολο αξιωμάτων ονομάζεται συνεπές. Γενικά οι μαθηματικοί δουλεύουν με σύνολα αξιωμάτων, τα οποία χαρακτηρίζονται από τη μαθηματική κοινότητα ως συνεπή (ακόμα κι αν αυτό είναι κάτι που δεν έχει αποδειχτεί, Τζέιμς Στάιν)
2. Οι προτάσεις των αξιωμάτων πρέπει να είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους, δηλαδή δεν πρέπει καμιά πρόταση που συμπεριλαμβάνεται μέσα σε ένα σύνολο αξιωμάτων να μπορεί να αποδειχτεί μέσω των άλλων αξιωμάτων του συστήματος. Αν αποδείξει κανείς ότι, ένα αξίωμα εξαρτάται από τις λοιπές προτάσεις του συστήματος, τότε (σύμφωνα με τη δεύτερη απαίτηση του Χίλμπερτ πρέπει να παραιτηθεί από αυτό το αξίωμα.
3. το σύστημα των αξιωμάτων να είναι πλήρες, που σημαίνει ότι κάθε πρόταση μιας θεωρίας (που η ίδια δεν είναι αξίωμα) είναι δυνατόν να αποδειχτεί με τη χρήση ενός μέρους ή όλων των αξιωμάτων που έχουμε αποδεχτεί.
Τώρα δεν μιλούμε για την ορθότητα ενός θεωρήματος αλλά για τη συνέπεια ενός κλάδου, ο οποίος έχει αξιωματικοποιηθεί. Η αξιωματικοποίηση της γεωμετρίας έγινε από το Χίλμπερτ, της αριθμητικής από τον Πεάνο, των συνόλων από τους Τσερμέλο, Φρένκελ, φον Νόιμαν και αποδείχτηκε (στο πλαίσιο των μεταμαθηματικών), ότι η γεωμετρία του Ρήμαν είναι συνεπής αν είναι η Ευκλείδεια. Ακόμα αν μπορούσε να αποδειχτεί η πληρότητα και η συνέπεια κάθε αξιωματικοποιημένης μαθηματικής θεωρίας, και κυρίως της αριθμητικής, τότε τα μαθηματικά θα μπορούν να θεμελιωθούν αυστηρά, στηριζόμενα μόνο στη διαίσθηση που υποβαστάζει τους φυσικούς αριθμούς. (Αριστείδης Μπαλτάς-Κώστας Στεργιόπουλος: Διαδίκτυο, Φιλοσοφία και Επιστήμες τον 20ο αιώνα). Τότε θα είχαμε την αξιωματική θεμελίωση όλων των μαθηματικών πάνω στους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή θα λύναμε το πρόβλημα των «θεμελίων».
Ο Gödel έδειξε ότι η υπόθεση αυτή είναι αστήριχτη. (Είναι το περίφημο ΤΕΤΕΛΕΣΤΑΙ του Χίλμπερτ).Παρουσίασε στους μαθηματικούς το «εκπληκτικόκαι μελαγχολικό συμπέρασμα» ότι η αξιωματική μέθοδος έχει ορισμένους ενδογενείς περιορισμούς που αποκλείουν τη δυνατότητα να αξιωματικοποιηθεί πλήρως ακόμα και η συνηθισμένη αριθμητική των ακεραίων. Είναι αδύνατον να αποδειχτεί η πληρότητα της αριθμητικής, ακόμα απέδειξε ότι είναι αδύνατο να εδραιωθεί η εσωτερική λογική συνέπεια μιας μεγάλης κλάσης παραγωγικών συστημάτων –όπως η πρακτική αριθμητική- και γενικά δεν μπορεί να δοθεί καμιά πραγματικά σίγουρη εγγύηση ότι πολλοί σημαντικοί κλάδοι της μαθηματικής σκέψης είναι πλήρως απαλλαγμένοι από εσωτερικές αντιφάσεις (συνεπείς).
Ήταν η μεγάλη προσγείωση του μαθηματικού κόσμου και η αλλαγή της ατζέντας των μαθηματικών. Η λογική σκέψη δεν μπορεί να φτάσει στην τελική μαθηματική αλήθεια! Εδώ ταιριάζει η ρήση «…ο Θεός υπάρχει επειδή τα μαθηματικά είναι συνεπή, και ο διάβολος υπάρχει επειδή δεν μπορούμε να δείξουμε τη συνέπεια αυτή… Morris Kline»
Μετά από αυτό, το πρόγραμμα του Χίλμπερτ κατέρρευσε και τα μεταμαθηματικά έμειναν ένας κλάδος των μαθηματικών.
Η ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΒΑΣΗ ΠΕΡΑ ΑΠΟ ΘΕΜΕΛΙΑ
Όμως ας ξαναδούμε για λίγο την αξιωματική μέθοδο αλλά όχι με τα μάτια του Χίλμπερτ.
Φαίνεται ότι η αξιωματική βάση «πέφτει από τον ουρανό».Όμως δεν είναι έτσι. Ο Klein λέει ότι «η αξιωματική βάση είναι το τελικό αποτέλεσμα (το επιστέγασμα) μιας ήδη προηγηθείσας εξελικτικής πορείας». Ακόμα:
Τα μαθηματικά δεν ξεκινούν σαν apriori αξιωματικά συστήματα. Υπάρχουν πρώτα πολύ συγκεκριμένα προβλήματα, αναζητούνται πρακτικές λύσεις υπάρχουν διαρκώς «πέρα δώθε», εντοπίζονται ασυνέπειες, παράδοξα κλπ. όλα αυτά δείχνουν προς τη γενετική μιας aposteriori επιστήμης. (8)
Τι βγαίνει απ’ αυτά; Μάλλον ότι η εμφανιζόμενη αύξηση της αξιωματικοποίησης είναι περισσότερο για την οικονομία της σκέψης και για τους σκοπούς μιας αέναης τάσης των μαθηματικών για γενίκευση και ενοποίηση, παρά για να εντοπιστούν τα θεμέλια!
Που καταλήγουμε λοιπόν; Είναι φανερό ότι αν από ένα σύνολο αξιωμάτων βγαίνουν αντιφατικά συμπεράσματα τότε αυτό είναι ένα κακό σύνολο αξιωμάτων (μη συνεπές). Γενικά οι μαθηματικοί δουλεύουν με σύνολα αξιωμάτων τα οποία χαρακτηρίζονται από τη μαθηματική κοινότητα ως συνεπή. Εν τω μεταξύ, ο στόχος των μαθηματικών λογικολόγων είναι να αποδείξουν ότι τα σύνολα των αξιωμάτων είναι συνεπή. Η έρευνα αυτή μπορεί να διαρκεί αιώνια και το σύστημα να λειτουργεί, όπως το Ευκλείδειο. Ο Ευκλείδης και οι μαθηματικοί των είκοσι αιώνων που ακολούθησαν δεν γνώριζαν μεταμαθηματικά.
Ένα αντιφατικό αποτέλεσμα στο σώμα ενός μαθηματικού πεδίου θα σημάνει συναγερμό και θα εντοπιστούν τα προβλήματα, όπως έγινε πολλές φορές στα μαθηματικά. Είναι οι λογικές κρίσεις των μαθηματικών, δια των οποίων είχαμε βαθύτερα ακόμα αποτελέσματα και εξελίξεις. Άρα αυτή η σπουδή για λογική είναι εξεζητημένη, δεν εξυπηρετεί τίποτα, και είναι αδιέξοδη. «…ας αφήσουμε λοιπόν τους μαθηματικούς εν ειρήνη να κάνουν αυτό που πάντα έκαναν με την αίσθηση που έχουν ότι ασχολούνται με κάτι πραγματικό. Αυτή η αίσθηση είναι πιθανώς μια πλάνη αλλά είναι πολύ βολική πλάνη…. J.Dieudonne»
Πήγαινε: στην Αρχή της Σελίδας
Παραπομπες
1. Ε. Γερονικολός διδάκτωρ φιλοσοφίας Πανεπιστημίου Βοστώνης, Μ. Μυτιληναίος Αναπλ. Καθηγητής οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών.
2. Οι πράξεις δεν ταυτίζονται με τις γνωστές πράξεις της αριθμητικής. Άλλωστε τα στοιχεία του G εν γένει δεν είναι αριθμοί . Η ομάδα G είναι μία αλγεβρική δομή, και τα στοιχεία της ερμηνεύονται εκ των υστέρων. Πιο αναλυτικά «πράξη» είναι η απεικόνιση του GXG→G
3. Ο Αϊνστάιν σε ερώτηση πώς συνέλαβε τη σχετικότητα απάντησε: άλλαξα ένα αξίωμα!
4. (Οι Russell και Whitehead προσπάθησαν να δείξουν (PrincipiaMathematica) ότι κάθε μαθηματική θεωρία θα μπορούσε να αναχθεί σε μια συλλογή αξιωμάτων.
5. Ο Αριστοτέλης βέβαια δεν ήταν μαθηματικός αλλά αυτός που ανέπτυξε τη διδασκαλία της τυπικής λογικής και βρήκε στα μαθηματικά εξαιρετικό έδαφος για τη μελέτη του λογικού συλλογισμού, αφού η μαθηματική απόδειξη ήταν ένας αυστηρός λογικός συλλογισμός.
6. Αριστοτέλης, νέα γιατί μαθαίνεις κάτι που δεν γνώριζες πριν, και αναγκαία γιατί το συμπέρασμα είναι αναπόδραστο (Απ. Δοξιάδης , Logicomix)
7. Η Γεωμετρία χρειάζεται (όπως εξ’ άλλου και η αριθμητική), για την επακόλουθη ορθή σύνδεσής της, λίγες μόνο απλές και θεμελιώδεις προτάσεις. Οι εν λόγω προτάσεις καλούνται αξιώματα της Γεωμετρίας, (D.Hilbert)
8. παραγωγικός συλλογισμός είναι η πορεία που ακολουθεί ο νους για να φτάσει στο συμπέρασμα όταν από μια γενική πρόταση (κανόνα , νόμο, αρχή) ως αποδεδειγμένη παραδοχή, ή ως εύλογη υπόθεση, και με το συσχετισμό συναφών προς αυτήν κρίσεων, καταλήγει σε κάτι ειδικό.Στον παραγωγικόσυλλογισμό δεν ενδιαφερόμαστε για την αλήθεια του συμπεράσματος αλλά περισσότερο το αν το συμπέρασμα προκύπτει ή δεν προκύπτει από τις υποθέσεις (προκείμενες) (Παπανούτσος, Λογική). Αν αυτό συμβαίνει λέμε ότι ο συλλογισμός είναι έγκυρος, αν όχι, άκυρος. Π.χ οι άνθρωποι είναι θνητοί, ο Σωκράτης είναι άνθρωπος, άρα ο Σωκράτης είναι θνητός. Αυτό είναι ένα ιστορικόπαράδειγμα παραγωγικού συλλογισμού που συνδέει τις αρχικές κρίσεις (προκείμενες), με την τελική (συμπέρασμα). Αν δεχτούμε τις δύο προκείμενες, τότε είμαστε λογικά εξαναγκασμένοι, ακολουθώντας τις αποδεκτές αρχές της Αριστοτελικής λογικής, να δεχτούμε και το συμπέρασμα.
Πηγες
[1] "Ελεύθερη Έρευνα", Δημόφιλος Ίων
[2] "Ερανιστής", Γιώργος Μπαντές
[3] "Wikipedia"
Η εφαρμογη μας για το κινητο σου
Κατέβασε και εσύ την εφαρμογή μας για το κινητό σου "Ancient Greece Reloaded"