Ευδοξος ο Κνιδιος
ΠΗΓΑΙΝΕ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΣΤΙΣ ΑΚΟΛΟΥΘΕΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ:
ΒΙΟΓΡΑΦΙΑ
ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ
ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑΣ
Ο Εύδοξος ο Κνίδιος (~407-335 π.Χ) ήταν Έλληνας μαθηματικός, αστρονόμος και φιλόσοφος. Θεωρείται ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς της ελληνικής αρχαιότητας, εφάμιλλος του Αρχιμήδη.
Πρόκειται για μια εξαιρετική και πολύπλευρη φυσιογνωμία, που έζησε την ίδια εποχή με τον Πλάτωνα. Στο πρόσωπό του συνδύαζε τις ιδιότητες του μαθηματικού, του αστρονόμου, του γεωμέτρη, του γεωγράφου, του μηχανικού, του μετεωρολόγου, του νομοθέτη, του γιατρού και φυσικά του φιλοσόφου. «Αεί ο Θεός γεωμετρεί»
Πρόκειται για μια εξαιρετική και πολύπλευρη φυσιογνωμία, που έζησε την ίδια εποχή με τον Πλάτωνα. Στο πρόσωπό του συνδύαζε τις ιδιότητες του μαθηματικού, του αστρονόμου, του γεωμέτρη, του γεωγράφου, του μηχανικού, του μετεωρολόγου, του νομοθέτη, του γιατρού και φυσικά του φιλοσόφου. Επίσης, υπήρξε ιδρυτής της φιλοσοφικής Σχολής της Κυζίκου. Για όλες αυτές του τις ιδιότητες ονομάστηκε «μέγα Εύδοξος» ή και «ένδοξος Εύδοξος», αλλά και «θεοειδής» από τον Ερατοσθένη .
Γεννήθηκε στην Κνίδο της νοτιοδυτικής Μικρά Ασίας περίπου στο 408 π.Χ. και πέθανε εκεί το 355 π.Χ. Πατέρας του ήταν ο Αισχίνης, ο οποίος δεν είχε περιουσία, κι έτσι ο Εύδοξος μεγάλωσε μέσα στη φτώχεια. Καταγόταν από οικογένεια ιατρών και σπούδασε μαθηματικά και ιατρική στην φημισμένη Σχολή της Κνίδου.
Αρχικά, ακολουθούσε τους συναδέλφους του, τους γιατρούς, στις περιοδείες τους. Έτσι, ταξίδεψε στη Μεγάλη Ελλάδα, όπου παρακολούθησε μαθήματα από το διάσημο πυθαγόρειο μαθηματικό τον Αρχύτα τον Ταραντίνο, ο οποίος ήταν και στρατιωτικός, που κατείχε εκεί κάποιο διοικητικό πόστο, και από το Φιλιστίωνα στη Σικελία (428-347 π.Χ.). Κάποια στιγμή όμως, ένας πλούσιος γιατρός, ο Θεομέδωνας (385 π.Χ.), εντυπωσιασμένος από τις ικανότητές του, πλήρωσε για λογαριασμό του τα έξοδα του ώστε να μεταβεί στην Αθήνα για σπουδές στην Ακαδημία του Πλάτωνα, που είχε ιδρυθεί το 387 π.Χ.
Έτσι, σε ηλικία είκοσι τριών χρόνων βρέθηκε στον Πειραιά, όπου το ψάρι και το λάδι ήταν πολύ φθηνά, και έτσι λόγω έλλειψης χρημάτων διέμενε εκεί. Από εκεί καθημερινά πήγαινε στην Αθήνα για να ακούσει τον Πλάτωνα και άλλους σωκρατικούς φιλοσόφους. Γυρίζοντας στην Κνίδο έφυγε με το γιατρό Χρύσσιπο για την Αίγυπτο (380 π.Χ.), εφοδιασμένος με μια συστατική επιστολή του Αγησιλάου, για το Φαραώ Νεκτανεβώ. Αυτός τον έφερε σε επαφή με το ιερατείο της Ηλιούπολης, όπου και μυήθηκε στη σοφία και την επιστήμη των Αιγυπτίων ιερέων.
Σύμφωνα με το Διογένη το Λαέρτιο, σπούδασε εκεί μαθηματικά, αστρονομία, μηχανική, μουσική και ιατρική. Παρέμεινε εκεί για δεκαέξι μήνες και έγραψε το πρώτο του σημαντικό έργο «Οκταετηρίδα», το οποίο αναφερόταν σε ένα ημερολόγιο βασισμένο σε ένα οκταετή κύκλο, προερχόμενο ίσως από τη μελέτη του πλανήτη Αφροδίτη. Από την Αίγυπτο έφερε γνώσεις αστρονομίας και πρότεινε μια μεταρρύθμιση του ελληνικού ημερολογίου η οποία συνάντησε μεγάλη επιτυχία και υποστήριξη.
Μετά την επιστροφή του από την Αίγυπτο έμεινε λίγο καιρό κοντά στον Μαύσωλο, δυνάστη της Αλικαρνασσού. Στη συνέχεια, το 378 π.Χ. επέστρεψε στην Ελλάδα και ίδρυσε την περίφημη Σχολή της Κυζίκου που του έδωσε μεγάλη φήμη, στην οποία δίδασκε φιλοσοφία, γεωμετρία, αριθμητική, γραμματική, μουσική, ρητορική και γεωγραφία. Μετά από μερικά χρόνια, επέστρεψε στην Αθήνα ακολουθούμενος από μαθητές του (τον Μέναιχμο που έλυσε το πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας, το Δεινόστρατο που εφεύρε την τετραγωνίζουσα γωνία και τον Αθηναίο από την Κύζικο), μεταφέροντας εκεί την έδρα της Σχολής του. Απέκτησε μεγάλη φήμη σε όλη την Ελλάδα ως νομοθέτης και για κάποιο διάστημα ανταγωνίστηκε ακόμα και τον Πλάτωνα.
Φαίνεται πως κάποια στιγμή πείστηκε από τον Πλάτωνα να διαλύσει τη Σχολή του και να διδάξει στην Ακαδημία αστρονομία, μαθηματικά και ιατρική. Τέλος επέστρεψε στην πατρίδα του όπου τον υποδέχτηκαν με μεγάλες τιμές και έφτιαξε νόμους. Τα λίγα βιογραφικά του στοιχεία μας είναι γνωστά κυρίως από τα κείμενα του Διογένη του Λαέρτιου τον 3ο μ.Χ. αιώνα καθώς και από τα έργα του έχουν μείνει μόνο κάποια λιγοστά αποσπάσματα. Για το υπόλοιπο έργο του έχουμε πληροφορίες από τον Αρχιμήδη, τον Ερατοσθένη, τον Εύδημο, τον Πρόκλο, τον Ευτόκιο και τον Βυζαντινό Ιωάννη τον Φιλόπονο.
Οι τρεις μορφές της Ιπποπέδης του Εύδοξου: Η μορφή 3, το ανεστραμμένο οκτώ, είναι εκείνη, με την οποία ερμηνευόταν η φαινομένη τροχιά των πλανητών.
Ο Εύδοξος ο Κνίδιος ήταν μαθητής του Ευκλείδη και έγινε γνωστός για την ανάπτυξη μιας πρώιμης μεθόδου ολοκλήρωσης, για τη χρήση των αναλογιών στα προς επίλυση προβλήματα και τη χρήση των τύπων για τη μέτρηση τρισδιάστατων σχημάτων. Ανακάλυψε, δηλαδή, τη θεωρία των αναλογιών (ο φιλόσοφος Πρόκλος έλεγε ότι πρόσθεσε τρεις αναλογίες στις ήδη γνωστές) και τη μέθοδο της εξάντλησης (ο Αρχιμήδης έλεγε γι’ αυτή του την ανακάλυψη, αλλά με άλλο όνομα διότι αυτό χρησιμοποιήθηκε μεταγενέστερα) οι οποίες ήταν οι δύο βασικές συνεισφορές του στα μαθηματικά.
Βέβαια, είναι γενικά παραδεκτό ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποίησε το έργο του Ευδόξου στο κείμενο των Στοιχείων του και πιο συγκεκριμένα στα βιβλίαV και ΧΙΙ και σε τμήματα των βιβλίων VI, Χ και ΧΙΙΙ, πράγμα που αναφέρεται και από τους σχολιαστές του βιβλίου. Το φαινομενικό αδιέξοδο των ασύμμετρων παρακάμφθηκε κατά μεγάλο μέρος, δεδομένου ότι μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν τα γινόμενα και τα πηλίκα τους μέσω της θεωρίας των αναλογιών. Η χρήση λόγων αντί κλασμάτων είχε μερικά πλεονεκτήματα, διότι μπορούσε κάποιος να διατυπώσει κανόνες και να τους χρησιμοποιήσει σε κάποια θεωρήματα χωρίς να χρειαστεί να χρησιμοποιήσει το π, που είναι άρρητο. Έτσι, ο λόγος ήταν η βασικότερη σχέση μεταξύ μεγεθών και η θεωρία των αναλογιών έδινε τη δυνατότητα σε διαφορετικούς λόγους να συγκριθούν μεταξύ τους.
Είναι πολύ πιθανό η αξιωματική μέθοδος του Ευκλείδη να αναπτύχθηκε αρχικά από τον Εύδοξο. Με τη μέθοδο της εξάντλησης που εφάρμοσε για τον υπολογισμό εμβαδών και όγκων ο Εύδοξος έδειξε ότι δεν είναι ανάγκη να υποθέσουμε την «ύπαρξη» απείρως μικρών ποσοτήτων. Αλλά για τους σκοπούς των μαθηματικών να μπορεί να φτάσει κάποιος σε ένα μέγεθος όσο μικρό θέλει, με συνεχιζόμενη διαίρεση ενός δοθέντος μεγέθους.
Κατά τον Αρχιμήδη, ο Εύδοξος χρησιμοποίησε τη μέθοδο αυτή για να αποδείξει ότι οι όγκοι των πυραμίδων και των κώνων ισούνται με το 1/3 των όγκων των πρισμάτων και των κυλίνδρων, αντίστοιχα, που έχουν τις ίδιες βάσεις και τα ίδια ύψη. Από αυτή την άποψη ο Εύδοξος μαζί με τον Αρχιμήδη θεωρούνται ως οι θεμελιωτές του ολοκληρωτικού λογισμού. Επίσης, απέδειξε ότι τα εμβαδά δύο κύκλων είναι ανάλογα των τετραγώνων των διαμέτρων τους.
Είχε διατυπώσει και τον ορισμό των ίσων λόγων, ο οποίος άφησε εποχή και επέτρεψε στους μαθηματικούς να χειριστούν τους άρρητους με την ίδια αυστηρότητα με τους ρητούς. Αυτή ήταν ουσιαστικά η αφετηρία μιας μοντέρνας θεωρίας των αρρήτων. Ο Εύδοξος φαίνεται ότι είχε γράψει βιβλίο με τίτλο «Περί τομής» και μάλλον βρισκόταν σε επιστημονική επαφή με το Θεαίτητο, γεγονός που υπονοεί την μελέτη των ασύμμετρων μεγεθών με την οποία είχε ασχοληθεί ο Θεαίτητος.
Ασχολήθηκε και με το Δήλιο πρόβλημα (το πρόβλημα του διπλασιασμού του κύβου, που από την αρχαιότητα μέχρι και τον 19ο αιώνα απασχόλησε όλους τους μαθηματικούς και όχι μόνο) το οποίο χαρακτηρίστηκε ως άλυτο, αφού η λύση με τη χρήση αποκλειστικά του κανόνα και του διαβήτη ήταν και είναι ακόμα και σήμερα αδύνατη. Όμως εκείνος χρησιμοποίησε ορισμένες καμπύλες - για τις οποίες δυστυχώς δε γνωρίζουμε πολλά - και κατάφερε να το λύσει.
Ο Πρόκλος δηλώνει: «Ο Εύδοξος παρουσίασε μεγάλο αριθμό προβλημάτων σχετικών με την τομή». Οι περισσότεροι ιστορικοί διακρίνουν σ’ αυτήν τη φράση μια αναφορά στο πρόβλημα της «χρυσής τομής», δηλαδή στη γραφική λύση της εξίσωσης χ΄+ χ – 1 = 0. Άλλοι τη σχετίζουν με τις κωνικές τομές και άλλοι τέλος βλέπουν στη φράση αυτή την απαρχή του «θησαυρού αναλύσεων» του Πάππου. Οπωσδήποτε πρόκειται για διερεύνηση λεπτών δευτεροβάθμιων προβλημάτων.
Τα παραπλεύρως κείμενα είναι γραμμένα σε πάπυρο, που βρέθηκε στην Αίγυπτο το 1778. Έχουν γραφεί σχεδόν δύο αιώνες μετά τον Εύδοξο και στηρίζονται στα έργα του. Αναφέρονται στις σημαντικότατες παρατηρήσεις του για τις «εγλείψεις» (=εκλείψεις) του Ήλιου και της Σελήνης.
Ο Εύδοξος ήταν και διάσημος αστρονόμος. Η Σχολή που ίδρυσε στο Κύζικο άκμασε για πολύ καιρό και τα γραπτά του χρησίμευσαν για πρωτότυπο στη συλλογή «Μικρή Αστρονομία», που παρουσίαζε σε γεωμετρική μορφή το σύνολο των θεωρημάτων που αναφέρονται στη σφαίρα και στην ημερήσια περιστροφή. Πρώτος αυτός εφάρμοσε τη μέθοδο, που ακολούθησε ο Αρίσταρχος ο Σάμιος, για να υπολογίσει την απόσταση της Γης από τη Σελήνη και τον Ήλιο. Και το κυριότερο συνέλαβε την πρώτη γεωμετρική θεωρία για την κίνηση των πλανητών (με ομόκεντρες σφαίρες που περιστρέφονται η μια μέσα στην άλλη).
Όμως, σαν παρατηρητής δεν πρόφτασε μέσα στη σύντομη και τόσο γεμάτη ζωή του να κάνει πολλά πράγματα, αλλά ακόμα κι εκεί κατάφερε να τελειοποιήσει τους τρόπους για τον καθορισμό της ώρας με τη λεγόμενη «αράχνη».
Στο έργο του «Φαινόμενα και Διοσημία» περιέγραφε τους αστερισμούς του Ισημερινού και των Τροπικών και έδωσε όνομα στους σχηματισμούς τους. Παράλληλα έδινε και οδηγίες προς τους γεωργούς, τους ποιμένες και τους ναυτιλλόμενους για την πρακτική χρησιμοποίηση των αστερισμών. Το σύγγραμμα αυτό δε διασώθηκε αλλά το γνωρίζουμε από σχόλια του Άρατου και του Ιππάρχου.
Ο Εύδοξος άξια κατέκτησε τον τίτλο του πατέρα της ουράνιας μηχανικής, της επιστημονικής αστρονομικής παρατήρησης και της μαθηματικής έρευνας καθώς ήταν γνώστης της σφαιρικής γεωμετρίας και χρησιμοποιούσε επιστημονικές μεθόδους για την έρευνα μαθηματικών και αστρονομικών θεμάτων. Έτσι, απέδειξε τη σφαιρικότητα της γης και μάλλον πρώτος μέτρησε την περίμετρο της.
Ακόμα, έγραψε αστρονομία και γεωγραφία κατά το πρότυπο των ομηρικών επών καθώς και πραγματείες νομικού, πολιτικού και ιατρικού περιεχομένου. Εκτός των άλλων ανέφερε ότι κάθε πλανήτης ακολουθεί τέσσερις διαφορετικές σφαίρες. Μία για την κίνηση της ημέρας, μία για τη διαδρομή του ζωδιακού και δύο για τις ανώμαλες κινήσεις. Οπότε, έτσι, υπάρχουν είκοσι επτά σφαίρες συνολικά, είκοσι για τους πλανήτες, τρεις για τον Ήλιο, τρεις για τη Σελήνη και μία για τους απλανείς.
Ο Εύδοξος περιφρονούσε τις θεωρητικολογίες για το φυσικό σύμπαν που δεν μπορούσαν να επιβεβαιωθούν με την παρατήρηση και την εμπειρία, γι’ αυτό και αφιερώθηκε με μεγάλο ζήλο στην αποκάλυψη των μυστικών της φύσης. Μάλιστα μας είναι γνωστό ότι είχε πει: «Αν μπορούσα να πάω στον ήλιο προκειμένου να βεβαιωθώ για το σχήμα του, το μέγεθός του και τη φύση του, τότε ευχαρίστως θα μοιραζόμουν την τύχη του Φαέθοντα (να λιώσει), ως τότε δε θα μπορούσα να μαντέψω».
Το «Ένοπτρο» και το «Φαινόμενο» είναι δύο σημαντικά έργα του. Επίσης, μετέφρασε τους «Διαλόγους Νεκρών» από τα αιγυπτιακά, αλλά έγραψε και μια πραγματεία αστρονομίας «Τέχνη Ευδόξου», που βρέθηκε σε έναν πάπυρο του Λούβρου. Άλλοι τίτλοι έργων του - που χάθηκαν - είναι «Αράχνη», «Γης περίοδος» και «Περί Ταχών».
Με τα έργα του εξασφάλισε μια πολύ τιμητική θέση μεταξύ των μεγαλυτέρων μυημένων σοφών της αρχαιότητας, θεωρείται ένας από τους μεγαλοφυέστερους άνδρες της αρχαίας Ελλάδας και ο μεγαλύτερος μαθηματικός της κλασσικής αρχαιότητας, δεύτερος δε μεταξύ των αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών με πρώτο τον Αρχιμήδη.
Φιλοσοφία
Τα λίγα στοιχεία που διαθέτουμε για τις φιλοσοφικές θέσεις του Εύδοξου τα αντλούμε από τον Αριστοτέλη. Μιλώντας για την πλατωνική θεωρία των Ιδεών(1) ο Αριστοτέλης αναφέρει ότι ο Εύδοξος, όπως πριν από αυτόν ο Αναξαγόρας, θεώρησε ότι η «η Λευκότητα βρίσκεται αναμεμειγμένη μέσα στα λευκά» (Μετά τα φυσικά 991a15-17) – πράγμα που σημαίνει ότι ο Εύδοξος έθετε τις Ιδέες κατά κάποιο τρόπο μέσα στα πράγματα. Με τη θέση αυτή θα μπορούσε να συμφωνήσει και ο Αριστοτέλης, φαίνεται όμως ότι ο Εύδοξος μιλούσε για κάποια μορφή πραγματικής ανάμειξης Iδεών και αισθητών, όπως συνέβαινε στα μείγματα του Aναξαγόρα.
Ο Εύδοξος διεκδικεί μια θέση στην ιστορία της ηθικής φιλοσοφίας ως ο πρώτος εισηγητής του ηδονισμού, της θέσης δηλαδή ότι η «ηδονή» (με την έννοια της ευχαρίστησης, της απόλαυσης) αποτελεί το καθολικό ανθρώπινο αγαθό.
«O Εύδοξος πίστευε ότι η ηδονή είναι το αγαθό, επειδή έβλεπε ότι όλα, και τα έλλογα και τα άλογα όντα, αυτήν επιζητούν – και αυτό που κάποιος επιλέγει είναι το σωστό και το κυρίαρχο. Το γεγονός ότι όλα στρέφονταν προς το ίδιο πράγμα δείχνει ότι αυτό είναι το άριστο για τα πάντα». Αριστοτέλης, Ηθικά Νικομάχεια 1172b9-12
Η θέση του Εύδοξου ήταν καινοφανής και προκάλεσε έντονη συζήτηση στο εσωτερικό της Ακαδημίας. Κατά μια εύλογη ερμηνεία, ο ύστερος διάλογος Φίληβος του Πλάτωνα απηχεί ακριβώς αυτήν τη συζήτηση. Στον πλατωνικό κύκλο οι ηδονιστικές θέσεις δεν βρήκαν μεγάλη απήχηση, επηρέασαν όμως την ηθική προσέγγιση του Αριστοτέλη, ενώ αναβίωσαν στα ελληνιστικά χρόνια με τον Επίκουρο και τους οπαδούς του.
Θεωρία της αναλογίας
Είναι γενικά παραδεκτό ότι ο Ευκλείδης χρησιμοποίησε το έργο του Ευδόξου στο κείμενο των Στοιχείων του, ιδιαίτερα στα βιβλία V και ΧΙΙ καθώς και σε τμήματα των βιβλίων VI, X και ΧΙΙΙ. Οι δύο βασικές συνεισφορές του Ευδόξου στα μαθηματικά είναι η θεωρία των αναλογιών, που βρίσκεται στο βιβλίο V, και η μέθοδος της εξάντλησης στο βιβλίο XII. Ο φιλόσοφος Πρόκλος αποδίδει τη θεωρία των αναλογιών στον Εύδοξο και ο Αρχιμήδης του αποδίδει τη μέθοδο της εξάντλησης. Είναι επίσης πιθανό ότι η αξιωματική μέθοδος του Ευκλείδη αναπτύχθηκε αρχικά από τον Εύδοξο.
Πριν τον 5ο και 4ο αιώνα οι πυθαγόρειοι είχαν παρατηρήσει ορισμένες σχέσεις μεταξύ των διαφόρων γεωμετρικά μετρήσιμων ποσοτήτων, όπως π.χ μεταξύ της υποτείνουσας και των καθέτων πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου (το γνωστό Πυθαγόρειο θεώρημα). Αλλά επίσης ανακάλυψαν ότι τα μήκη ορισμένων γεωμετρικών σχημάτων μπορούσαν να εκφραστούν μόνο ως άρρητοι αριθμοί, όπως π.χ η διαγώνιος ενός τετραγώνου. Η ανακάλυψη των αρρήτων αριθμών περί το 400 π.Χ σήμανε ότι η πυθαγόρεια γεωμετρία η οποία ασχολούνταν μόνο με σύμμετρα μεγέθη, ήταν ανεπαρκής, διότι δεν είχε τα μέσα να πραγματευθεί τους άρρητους αριθμούς.
Στο βιβλίο V των Στοιχείων του Ευκλείδη αναπτύσσεται διεξοδικά η θεωρία των αναλογιών του Ευδόξου, της οποίας ο ορισμός των ίσων λόγων, ο περίφημος πέμπτος ορισμός, είναι η κύρια πηγή για τη σύγχρονη θεώρηση των ασύμμετρων αριθμών. Με τη θεωρία αυτή, η οποία αποτελεί μια βασική συμβολή στη θεωρία των αριθμών, τα μαθηματικά για πρώτη φορά μπορούν να θεωρήσουν μη σύμμετρα μεγέθη, δηλαδή μεγέθη των οποίων ο λόγος δεν ισούται με το πηλίκο δύο ακεραίων, όπως είναι τα μήκη της διαμέτρου και της περιφέρειας ενός κύκλου. Έτσι, μετά τη λύση που δόθηκε από τους αρχαίους Έλληνες στο πρόβλημα του υπολογισμού των εμβαδών και των όγκων σχημάτων που περιορίζονται από ευθείες γραμμές και που παριστάνονται από ρητούς αριθμούς, η θεωρία των αναλογιών επέτρεψε στον Εύδοξο να ασχοληθεί, με τη βοήθεια ρητών προσεγγίσεων, με μετρήσεις που συνεπάγονται άρρητους αριθμούς. Απέδειξε ότι οι άρρητοι αυτοί αριθμοί μπορούν να οριστούν με τη βοήθεια κατάλληλων προσεγγίσεων ρητών.
Πήγαινε: στην Αρχή της Σελίδας
Παραπομπες
1.
Ο πυρήνας της πλατωνικής θεωρίας των Iδεών είναι ότι πέρα από τη συνεχώς μεταβαλλόμενη αισθητή πραγματικότητα υπάρχουν κάποιες αυθύπαρκτες, αμετάβλητες και νοητές οντότητες, οι «Iδέες». Tα αντικείμενα του αισθητού κόσμου οφείλουν την ύπαρξή τους και την όποια αλήθεια τους στη σχέση τους με τις Iδέες. Στη θεωρία των Iδεών στηρίζει ο Πλάτων τη συνολική ερμηνεία του της πραγματικότητας.
O Πλάτων δεν έχει καμία εμπιστοσύνη στα δεδομένα των αισθήσεων. Yποστηρίζει ότι ο αισθητός κόσμος είναι ένα συνεχώς μεταβαλλόμενο σύμπαν, χωρίς σταθερότητα. Οι ανθρώπινες αισθήσεις είναι εξ ορισμού υποκειμενικές και αποτελούν πηγή πλάνης. Aν υπάρχει κάποια βεβαιότητα, αυτή πρέπει να αναζητηθεί στη σκέψη και στη γλώσσα – στους «λόγους». Oι πλατωνικές Iδέες είναι τα αντικείμενα της καθαρής σκέψης.
Για περισσότερες λεπτομέρειες πήγαινε:
"Πλάτων: Η ΠΛΑΤΩΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΙΔΕΩΝ"
Πηγες
[1] "Νέα Ακρόπολη Αθήνα"
[2] "Ιδρυμα Μείζονος Ελληνισμού", Βασίλης Κάλφας
Εγκυκλοπαίδεια Υδρία, Τόμος 25, εκδ. Εταιρεία Ελληνικών Εκδόσεων Α.Ε.
Εγκυκλοπαίδεια Πάπυρος Λαρούς Μπριτάνικα, Τόμος 25, εκδ. Πάπυρος.
Αρχαίοι Έλληνες θετικοί επιστήμονες, Κ. Γεωργακόπουλου, εκδ. Γεωργιάδη.
Οι μαθηματικοί της Αρχαίας Ελλάδας, Βαγγέλη Σπανδάγου – Ρούλας Σπανδάγου – Δέσποινας Τραύλου, εκδ. αίθρα.
Εύδοξος και Ηρακλείδης δύο εταίροι του Πλάτωνος (Βίος και Έργα), Εμμανουήλ Παπαμανώλης, εκδ. Δημόσιας Βιβλιοθήκης Ρόδου, Αθήνα 1990.
Οι μαθηματικοί, E.T.BELL, εκδ. Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης.
De Santillana, G. "Eudoxus and Plato.A Study in Chronology." Isis 32 (1949)
Dicks, D.R. Early Greek Astronomy to Aristotle. Λονδίνο, 1970.
Καλφας, Β. Πλάτων, Τίμαιος , «Η πλατωνική αστρονομία», 151-74. Αθήνα, 1995.
Lasserre, F. Die Fragmente des Eudoxus von Knidos. Bερολίνο, 1966.
White, N. P. Ο Πλάτων για τη γνώση και την πραγματικότητα. Αθήνα, 2011.
Kraut, R. ed. The Cambridge Companion to Plato. Cambridge, 1992.
Ross, W. D. Plato’s Theory of Ideas. Oxford, 1953.
Η εφαρμογη μας για το κινητο σου
Κατέβασε και εσύ την εφαρμογή μας για το κινητό σου "Ancient Greece Reloaded"